Pendiente de la secante, pendiente de la tangente

En el punto A de la gráfica de la función de la figura, la recta azul es una recta secante y la roja es la recta tangente en el punto A.

La pendiente de la recta secante la podemos calcular dividiendo la longitud del segmento Δy entre la longitud del segmento h

Con el puntero del ratón, podemos mover los puntos A y D, que recorren la gráfica de la función f(x) de la figura. Como conocemos la expresión analítica de la función f(x), podemos calcular por procedimientos puramente algebraicos la pendiente de la recta secante en cualquier punto.

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Por ejemplo: coloquemos el punto A de forma que su abcisa, x, sea -1, el punto D de manera que h sea 1. En este caso la pendiente de la recta secante es aproximadamente 5,17

Si movemos con el puntero del ratón el punto D, haciendo que h tienda a 0, vemos como la recta secante tiende a confundirse con la recta tangente a la función en el punto de abcisa x = - 1 y por tanto la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente.

Este hecho nos apunta un procedimiento para calcular la pendiente de la recta tangente. En este procedimiento, juega un papel fundamental el límite de una función en un punto.

La pendiente de la recta secante a la función en los puntos de abcisa x = - 1 y x = - 1+h es:

Y como:

Y

La pendiente de la recta secante en función de h es:

Como podemos apreciar, moviendo el punto D de la figura con el puntero del ratón, para calcular la pendiente de la recta tangente en el punto de abcisa x = - 1, simplemente calculamos el límite de la expresión anterior, cuando h tiende a 0

El mismo procedimiento se emplea para calcular la pendiente de la recta tangente en cualquier otro punto.

Juan del Pozo, 29/09/07, Creado con GeoGebra