Ejercicios propuestos. Métodos de integración: integración de funciones racionales

Toda función racional puede ser expresada como un cociente de dos polinomios, es decir, como una fracción racional.

Si el grado del numerador es inferior al grado del denominador, la fracción se llama propia; en caso contrario, la fracción se llama impropia

Si la fracción es impropia, al dividir el numerador por el denominador se puede expresar la fracción dada como suma de un polinomio y una fracción propia:

Donde

Es un polinomio. Y

Es una fracción propia.

Si

Donde α, β, μ y ν son numeros naturales mayores o iguales que 2. (x2 + px + q) y (x2 + lx + s) no tienen raíces reales.

Toda fracción propia:

Puede descomponerse de la siguiente manera:

Y como esta igualdad es una identidad, al reducir estas fracciones a un común denominador, obtendremos en los numeradores del primer y segundo miembro polinomios idénticos. Igualando los coeficientes de los términos que tengan las mismas potencias de x, obtendremos un sistema de ecuaciones para poder determinar las incógnitas A, A1 , ..., B, B1 , ... M, N, ....

Las fracciones de los tipos:

Se llaman fracciones elementales o simples. El cálculo de la integrales de las fracciones elementales es sencillo. Unicamente el cálculo de las integrales de tipo IV es laborioso.

Fracciones elementales tipo I

Fracciones elementales tipo II

Fracciones elementales tipo III

Como

Por no tener raíces reales la ecuación: x2 + px + q

Para resolver la última integral, podemos hacer:

Y por lo tanto:

Fracciones elementales tipo IV

La primera integral se resuelve haciendo el cambio de variable t=x2 + px + q; dt=(2x+p)dx:

La segunda integral la escribimos, designada por Ik, en la forma:

Como

Por no tener raíces reales la ecuación: x2 + px + q

Hacemos:

Y queda:

Transformamos la segunda integral:

Integramos por partes, haciendo:

Queda:

Sustituimos esta expresión en la igualdad (1) y queda:

En el segundo miembro aparece una integral del mismo tipo que Ik pero con el exponente del denominador menor en una unidad, la llamamos Ik - 1, es decir expresamos Ik en función de Ik - 1

Repetimos el proceso hasta llegar a una integral I1, que sabemos calcular

Ejemplo: descomponer en fracciones elementales o simples la fracción

Ponemos:

Reducimos a común denominador:

Operando e igualando los coeficientes de los términos que tengan las mismas potencias de x en los numeradores de ambas fracciones tenemos el siguiente sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas:

Resolviendo el sistema, obtenemos:

Y ya tenemos la fracción descompuesta en fracciones simples:

La integral de cada una de las fracciones elementales se calcula como hemos indicado anteriormente