Ejercicios propuestos. Métodos de integración: integración de funciones irracionales por sustituciones trigonométricas

Se trata de tranformar una integral de la forma

En una integral de la forma

Para ello, transformamos el trinomio que figura bajo el radical

Y hacemos el siguiente cambio de variables

Con lo que queda:

Y consideramos tres casos

I. Cuando

Hacemos

Y tendremos

Con lo que la integral de la forma

Queda como una integral de la forma

Que mediante el siguiente cambio de variables

Pasa a una integral de la forma

II. Cuando

Hacemos

Y tendremos

Con lo que la integral de la forma

Queda como una integral de la forma

Que mediante el siguiente cambio de variables

Pasa a una integral de la forma

III. Cuando

Hacemos

Y tendremos

Con lo que la integral de la forma

Queda como una integral de la forma

Que mediante el siguiente cambio de variables

Pasa a una integral de la forma

Ejercicio propuesto en las pruebas de acceso a la Universidad de Extremadura. COU. Junio 1991

Calcular la integral:

Es la integral de una función irracional, que podemos encasillar en el caso III, con m = 1 y n = 2; por lo que proponemos el siguiente cambio de variables:

Y pasamos a una integral trigonométrica

Que podemos encasillar en el caso IV de métodos de integración de funciones trigonométyricas. Por lo que proponemos el siguiente cambio de variables:

Y pasamos a una integral racional

Que es la integral de una fracción elemental del tipo IV, que integramos como sigue

Y ahora deshacemos los cambios, primero z = tg x

Segundo, x = 2 sen t

Sustituyendo, queda:

Por lo tanto

Ejercicios del mismo tipo propuestos en las pruebas de acceso a la Universidad de Extremadura (páginas 21 y 22)