Entorno de un punto. Punto de acumulación de un conjunto de números reales

El punto B recorre el conjunto de los números reales. El punto A recorre el conjunto de los números enteros.

Un conjunto T de números reales es un entorno de un número real C si y solo si T contiene un intervalo abierto δ.

El intervalo abierto δ es un entorno de cualquier punto sobre el que se coloca. Por ejemplo, si lo colocamos sobre el punto C, δ es un entorno de C

Podemos modificar la amplitud del intervalo δ arrastrando cualquiera de sus extremos. Arrastrando el punto A hacemos que recorra el conjunto de los números enteros. Arrastrando el punto B hacemos que recorra el conjunto de los números reales.

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El punto C lo podemos colocar sobre cualquier punto de la recta real.

Sea T un conjunto de números reales.Un punto C es un punto de acumulación de T si y solo si cualquier entorno de C contiene infinitos puntos de T.

Ejemplos:

Si consideramos el conjunto de los números reales R y colocamos el punto C en cualquier punto de la recta real, C es un punto de acumulación de R.

Si consideramos el conjunto de los números enteros Z y colocamos el punto C en cualquier punto de la recta real, C no es un punto de acumulación de Z.

Si consideramos el conjunto de los números reales sin los números enteros R - Z y colocamos el punto C en cualquier punto de la recta real, C es un punto de acumulación de R - Z, incluso cuando C sea un número entero y no pertenezca al conjunto R - Z.

Observaciones:

El infinito aunque no sea un objeto de este mundo y no pertenezca ni a R ni a Z es punto de acumulación de R y de Z.

Los dominios de definición de las funciones reales son conjuntos de números reales y es importante reconocer sus puntos de acumulación para calcular límites en un punto y en el infinito.

Recomendación:

Manipula los objetos A, B, C y δ de la gráfica hasta que comprendas cada una de las definiciones y afirmaciones que aparecen en los párrafos anteriores.

Juan del Pozo, 7-junio-2007, Creado con GeoGebra