Límite de funciones. Introducción

Conjunto de los números reales

Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, en adelante lo vamos a denotar por R ; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos representar por una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos la recta real

Función :

Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra   f   y escribimos y=f(x).

Dominio de definición de una función f :

Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) existe. Lo representamos por Dom(f).

Recorrido o imagen de una función f :

Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Img(f).

Función real de variable real :

Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.

Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función ; la segunda, no es la gráfica de una función:

En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.

Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma:

Intervalos y entornos

Definimos sobre la recta real :

El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se llama longitud del intervalo.

Entorno de un número real x:

Ejercicios propuestos.

Límite de una función en un punto

Los valores de x a considerar han de pertenecer al dominio de definición , D de la función. También es necesario que en D haya puntos tan próximos a a como queramos, es decir, que a sea un punto de acumulación de D.

Explicación dinámica del concepto de punto de acumulación

Puntos tan próximos como queramos significa que cualquiera que sea la distancia que consideremos, por muy pequeña que sea, existen puntos del dominio de definición de la función, que no coincidan con "a", a una distancia de "a" menor que la considerada.

Ejemplo dinámico de un punto "a" que no es punto de acumulación

El límite depende únicamente del comportamiento de la función en las proximidades de a, no de cual sea el valor de la función en el punto a ; de hecho, a puede no pertenecer al dominio de definición de la función. Sí es necesario, que "a" sea punto de acumulación del dominio de definición de la función.

Explicación dinámica del concepto de límite

Otros ejemplos para reforzar el concepto

Ejemplo : Una función típica en análisis es :

Esta función no está definida en el punto x=1 . Para este valor de x, el denominador de la función es 0 , y no tiene sentido en matemáticas dividir por 0. El valor al que esta función se aproxima, cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, es 2. Luego la función tiene límite cuando x se aproxima a 1 ; el límite es 2. Escribimos:

Actividad para reforzar el concepto

Límites laterales:

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a . Lo representamos por :

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a . Lo representamos por :

Reforzar el concepto

Ejemplo :

Límite de una función en el infinito.

Reforzar el concepto

Ejemplo :

Actividad para reforzar el concepto

Ejercicios propuestos.

Sucesiones y límite de sucesiones.

Una sucesión es una función discreta, cuyo dominio de definición son los números naturales positivos. La variable independiente se representa con la letra n y la variable dependiente se representa por an.

Una sucesión an, tiene límite L , si al crecer indefinidamente n, los términos de la sucesión an se aproximan indefinidamente al número L. Que los terminos de an se aproximan indefinidamente a L, significa que todos los términos de la sucesión a partir de uno en adelante están contenidos en cada entorno L. Lo representamos por:

Observación : en las sucesiones no podemos hablar de límite cuando n se aproxima a un número natural positivo, porque en el dominio de definición de las sucesiones, el conjunto de los números naturales positivos, no nos podemos aproximar indefinidamente a cualquier elemento, como mucho nos podremos aproximar al número entero anterior o al siguiente.

Ejemplo :

Actividad para reforzar el concepto

El número e

Vamos a considerar la sucesión :

Los términos de esta sucesión crecen continuamente, es decir aumentan cuando aumenta n, pero la sucesión está acotada, es decir sus términos no pasan de un determinado valor, por tanto los terminos de la sucesión han de aproximarse a algún número, que estará comprendido entre el 2 y el 3. El número al que se aproximan los términos de esta sucesión, es una constante muy característica en matemáticas que recibe el nombre de número e. Se define como :

Actividad para reforzar el concepto

Tiene infinitas cifras decimales, es un número real trascendente; para conseguir una aproximación de esta constante, podemos utilizar la calculadora del ordenador. En windows 98, la calculadora nos da el valor :

2,71828182845904523536028747135266