Variable aleatoria

Realizamos el siguiente experimento: lanzamos dos monedas al aire. Los posibles resultados del experimento quedan reflejados en el siguiente diagrama de árbol:

El espacio muestral del experimento es:

{CC, CX, XC, XX}

Variable aleatoria es una función del espacio muestral de un experimento aleatorio en el conjunto de los números reales.

Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función.

Las variables aleatorias pueden ser:

Continuas: pueden tomar todos los valores posibles en uno o varios intervalos del conjunto de los números reales.

Discretas: Todas las que no son continuas.

Por ejemplo en el experimento anterior, si consideramos el número de caras que resultan, vemos que puede ser : 0, 1 y 2. La función que asigna a cada uno de los resultados del experimento el número de caras, es una variable aleatoria discreta

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es la aplicación que asocia a cada valor xi ,de la variable , su probabilidad pi . La representamos por f(x) o P(x).

En el caso anterior es:

Función de distribución de una variable aleatoria discreta es una función que mide la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales que un determinado valor xi. La representamos por F(x) y tenemos:

Parámetros de una variable aleatoria discreta

La esperanza matemática y los juegos de azar
A un juego de azar podemos asignarle una variable aleatoria x, cuyos valores son las ganancias correspondientes a los posibles resultados.
La esperanza matemática de la variable aleatoria x representa el beneficio medio que se obtiene en cada jugada cuando se juega un número elevado de veces.

Sea el juego que consiste en sacar una bola de una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos 50 PTA si la bola extraida es roja y tenemos que pagar 200 PTA en el caso de que sea negra. ¿Qué podemos esperar si jugamos muchas veces?

Espacio muestral = {R, N}

Consideramos las ganancias como positivas y las pérdidas negativas.

Ejemplos de variables aleatorias en la ciencias sociales

Y así, se puede continuar con cualquier cualidad medible de los individuos de una población.

También podemos estudiar características cualitativas de los individuos de una población como variables aleatorias , por ejemplo, si un individuo de una determinada población tiene estudios de grado superior, si tiene estudios superiores le asignamos el valor 1, en caso contrario el valor 0.

Si en la población del ejemplo anterior, tomamos una muestra aleatoria de n individuos, y para cada muestra, consideramos el total de los que tienen estudios superiores (sumamos los valores 0 ò 1 asignados a cada individuo de la muestra), tenemos otra variable aleatoria.